Misal diberikan R suatu gelanggang. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol? Lengkapi jawaban dengan bukti! Tunjukan bahwa pemetaan : R R x ax merupakan pemetaan satu-satu!. Daerah integral dapat dipandang sebagai perumuman dari sistem bilangan bulat dan lapangan sebagai perumuman sistem bilangan real.
Dua buah unsur tak nol a, b R disebut sekawan jika a [ b dan b [ a. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M 22 R bukan termasuk daerah integral? Jelaskan kenapa R 1 R 2 dengan R 1 dan R 2 daerah integral adalah bukan daerah integral? Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Z n , membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jika n suatu bilangan prima!
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlaku hukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral! Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c R. Buktikan bahwa, a. Misalkan R suatu daerah integral. Bisa bukan karena apa-apa tapi karena terbiasa untuk itu, belajar dan berlatihlah!
Sistem R disebut lapangan jika R membentuk gelanggang komutatif dan setiap unsur tak nolnya merupakan unit. Dengan demikian kita punya denisi alternatif, yaitu: Sistem R disebut lapangan jika i. R 0, membentuk grup komutatif, dan iii. R lapangan Dit. R daerah integral Jawab: Diketahui bahwa R suatu lapangan.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerah integral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukum pembatalan kiri. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integral yang bukan lapangan.
Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat. Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup dengan menunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan. Untuk menunjukan a memiliki balikan kita bentuk pemetaan berikut:.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukup dengan menunjukan bahwa a merupakan pemetaan satu-satu. Mari kita ambil dua unsur x, y R dengan. Selanjutnya substitusikan x, y R tersebut pada pemetaan. Perhatikan bukti Teorema 2. Mengapa kita tidak dapat mem perluas teorema 2 untuk daerah integral tak hingga?
Tunjukan bahwa R 0 terhadap operasi kali membentuk grup komutatif! Tunjukan bahwa unsur balikan a adalah tunggal! Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian pada R agar R membentuk suatu lapangan! Apakah tabel yang diperoleh juga sama jika R merupakan daerah integral!
Dengan homomorsma gelanggang, kita dapat menyelidiki sifat suatu gelanggang dengan memanfaatkan sifat gelanggang yang sudah kita kenal jika kedua gelanggang tersebut homomork. Denisi formalnya adalah sebagai berikut: Misalkan R 1 dan R 2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan : R 1 R 2 disebut homomorsma gelanggang jika untuk setiap x, y R 1 berlaku 1.
Untuk membuktikannya, kita ambil contoh penyangkal berikut ini. Maka untuk setiap x, 0 R 1 R 1 berlaku: i. Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikan dengan Ker. Maka i. Memahami huruf, angka dan etika gambar teknik dan Menyajikan huruf, angka dan etika gambar teknik. Memahami gambar konstruksi geometris berdasarkan bentuk konstruksi dan Mengelompokan gambar konstruksi geometris berdasarkan bentuk konstruksi.
Memahami sketsa gambar benda 3 D sesuai aturan proyeksi pictorial dan Menyajikan sketsa gambar benda 3 D sesuai aturan proyeksi pictorial. Memahami sketsa gambar benda 2 D sesuai aturan proyeksi ortogonal dan Menyajikan sketsa gambar benda 2 D sesuai aturan proyeksi orthogonal. Menganalisis gambar potongan berdasarkan jenis potongan dan menyajikan gambar potongan berdasarkan jenis potongan.
Menerapkan pembuatan ukuran sesuai fungsi dan pandangan utama gambar teknik dan menyajikan pembuatan ukuran sesuai fungsi dan pandangan utama gambar teknik.
Memahami pemberian ukuran berantai, sejajar, kombinasi, bertingkat, kordinat dan ukuran khusus dan Menggunakan ukuran berantai, sejajar, kombinasi, bertingkat, kordinat dan ukuran khusus. Mengevaluasi hasil sketsa gambar benda 2D dan 3D standar proyeksi orthogonal dan menyajikan hasil sketsa gambar benda 2D dan 3D standar proyeksi orthogonal dalam menerapkan pengetahuan tentang otomotif baik secara teoristis maupun praktis.
Book Summary: Designed as a sequel to the authors' Introduction to Gauge Field Theory, Supersymmetric Gauge Field Theory and String Theory introduces first-year graduate students to supersymmetric theories, including supergravity and superstring theories. Starting with the necessary background in quantum field theory, the book covers the three key topics of high-energy physics. The emphasis is on practical calculations rather than abstract generalities or phenomenological results.
Where possible, the authors show how to calculate, connecting the theoretical with the phenomenological. While the field continues to advance and grow, this book addresses the basic theory at the core and will likely remain relevant even if more advanced ideas change.
Book Summary: Dosen-dosen yang mengajar Metode Penelitian sering menghadapi dilema yang sama, yaitu bahwa Metode Penelitian merupakan matakuliah wajib, sehingga dipenuhi dengan mahasiswa-mahasiswa yang lebih suka berada di tempat lain. Bahkan, karena hampir semua mahasiswanya tidak bercita-cita berkarir di bidang penelitian, hanya sedikit diantara para mahasiswa itu yang meyakini manfaat matakuliah ini.
Inilah tantangan pendidikan yang digeluti oleh buku ini. Buku Essentials of Research Methods ini digerakkan dan didorong oleh keyakinan bahwa pengetahuan tentang metode-metode penelitian sungguh-sungguh bermanfaat. Buku ini bertekad menanamkan keyakinan tersebut kepada para mahasiswa! Book Summary: George Berkeley merupakan salah satu filsuf terbesar pada periode modern awal.
Dia lahir pada 12 Maret di Kilcrene dekat Kilkenny, Irlandia. Keluarganya merupakan keturunan Inggris. Pemikirannya memantik keguncangan dalam sains dan agama. Ia menolak anggapan bahwa manusia telah membawa fitrah pengetahuan dalam dirinya ketika dilahirkan. Tulisannya tentang persepsi visual dan penyangkalannya terhadap eksistensi materi membuatnya menjadi sasaran kritik tajam, bahkan ejekan.
Pernyataan singkatnya, misalnya, bahwa hanya ada Tuhan, roh yang terbatas, dan gagasan tentang roh, membuatnya tampak begitu jauh dari pandangan orang biasa tentang dunia.
Kita mungkin bertanya-tanya, bagaimana mungkin seorang filsuf terkemuka menyangkal eksistensi materi? Bagi banyak orang, tampaknya dia telah menyangkal apa yang paling jelas, begitu jelas sehingga tidak ada orang yang akan mempertanyakannya, dan justru berusaha menegaskan apa yang tidak begitu jelas.
Filosofi seperti itu hanyalah pemborosan yang mencengangkan. Namun, pada abad kesembilan belas, John Stuart Mill memuji Berkeley atas penemuannya, dan Berkeley tetap menjadi salah satu dari tiga tokoh empirisme Inggris klasik yang luar biasa. Berkeley, baik secara langsung atau tidak langsung, punya pengaruh besar dalam konstelasi filsafat Inggris. Buku ini akan mengantarkan pembaca dalam memahami pemikiran-pemikiran Berkeley dengan lebih mudah.
Book Summary: This is the eBook of the printed book and may not include any media, website access codes, or print supplements that may come packaged with the bound book. Algebra, Second Edition, by Michael Artin, provides comprehensive coverage at the level of an honors-undergraduate or introductory-graduate course. This book discusses concrete topics of algebra in greater detail than others, preparing readers for the more abstract concepts; linear algebra is tightly integrated throughout.
Book Summary: Introduction to Abstract Algebra provides insight into the methods of abstract algebra. This book provides information pertinent to the fundamental concepts of abstract algebra. Organized into five chapters, this book begins with an overview of the study of natural numbers that are used historically for the purpose of counting the objects in different assemblages.
This text then examines the concepts of set and elements of a set. Other chapters contain an intuitive survey of the different kinds of real numbers, with the inclusion of many very important results on integers.
This book presents as well a brief survey of algebraic systems from the trivial sets to the more highly structures groups, with emphasis on the elementary properties of groups.
The final chapter deals with the simple development of complex numbers. This book is intended to be suitable for students in abstract algebra. Book Summary: Handbook of Analysis and Its Foundations is a self-contained and unified handbook on mathematical analysis and its foundations.
Intended as a self-study guide for advanced undergraduates and beginning graduatestudents in mathematics and a reference for more advanced mathematicians, this highly readable book provides broader coverage than competing texts in the area.
Handbook of Analysis and Its Foundations provides an introduction to a wide range of topics, including: algebra; topology; normed spaces; integration theory; topological vector spaces; and differential equations.
The author effectively demonstrates the relationships between these topics and includes a few chapters on set theory and logic to explain the lack of examples for classical pathological objects whose existence proofs are not constructive. More complete than any other book on the subject, students will find this to be an invaluable handbook. Book Summary: A comprehensive guide to distributed algorithms that emphasizes examples and exercises rather than mathematical argumentation.
This book offers students and researchers a guide to distributed algorithms that emphasizes examples and exercises rather than the intricacies of mathematical models. It avoids mathematical argumentation, often a stumbling block for students, teaching algorithmic thought rather than proofs and logic.
This approach allows the student to learn a large number of algorithms within a relatively short span of time. Meskipun dapat dibuktikan bahwa semua grup bagian dari grup siklik merupakan grup siklik dan semua grup bagian dari grup abelian merupakan grup abelian, tetapi masih menyisakan pertanyaan-pertanyaan yang belum terjawab : 1.
Bagaimana orde dari suatu grup bagian S dibandingkan dengan orde dari grup yang mengandung S? Bagaimana orde dari suatu anggota grup G dibandingkan orde dari G? Teorema terbukti ini sangat penting dalam teori grup dan sekaligus menjawab kedua pertanyaan tersebut. Teorema VI. Keterangan : 1. Himpunan aS dan bS dinamakan koset kiri dari S. Dinamakan koset kiri karena anggota a dan b berada di kiri. Beberapa contoh berikut ini menjelaskan bahwa koset-koset S, aS, bS, … Contoh VI.
Akan diperhatikan penyekatan grup G kedalam koset — koset kiri dari S. Meskipun dalam grup tak hingga konsep orde S membagi orde G tetapi koset-koset kiri dari S tetap membagi Z ke dalam himpunan-himpunan bagian yang tidak saling asing dan masing- masing dengan banyak anggota yang sama.
Bukti: Anggota a membangun grup bagian siklik a. Dengan menggunakan definisi, orde dari a sama dengan orde dari a dan dengan mengingat teorema Lagrange, orde dari grup bagian a membagi orde G. Bilangan prima mempunyai arti penting dalam teori grup dan teorema Lagrange memberikan informasi penting tentang grup dengan orde prima. Teoema VI. Bukti : Dengan mengingat Teorema VI. Berarti G siklik.
Teorema di atas mengelompokkan bahwa semua grup orde p. Untuk sebarang bilangan prima p dimiliki tepat satu kelompok untuk grup orde p dan dinamai Zp. Akibat lainnya adalah bahwa tidak ada grup orde p yang tidak komutatif. Soal VI. Hal itu berarti bahwa elemen 0 mempunyai order 1, elemen 1 dan 3 mempunyai order 4 dan elemen 2 mempunyai order 2 sehingga grup tersebut siklik karena ada elemen dalam Z4 yang mempunyai order 4 yaitu 1 dan 3. Elemen 1 mempunyai order 1, elemen 5 mempunyai order 2, elemen 7 mempunyai order 1 dan elemen 11 mempunyai order 2.
Tentukan order dari setiap elemen dalam Z5. Tentukan semua grup bagian dalam Z5. Tentukan order dari setiap elemen dalam Z6. Buktikan bahwa G mengandung grup bagian dengan order p. Berikan contoh grup berhingga order n yang tidak mengandung sebarang elemen dengan order d untuk suatu d pembagi sejati dari n. Buktikan bahwa grup G dengan 4 anggota merupakan grup abelian. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier linier transformation.
Dalam teori grup digunakan definisi berikut ini. Definisi VII. Contoh VII. Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif.
Fungsi f dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif. Suatu homomorfisma grup yang bijektif surjektif dan injektif dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma.
Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1xb. Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1Sb dinamakan konjugat dari S. Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada onto H.
Teorema VII. Bukti Akan dibuktikan bahwa f G tertutup. Ambil sebarang f a , f b dalam f G. Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G sebab G grup. Misalkan f b sebarang anggota dalam Im f. Akan dibuktikan f G mengandung invers dari anggota f G. Misalkan f x dalam f G. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku. Akan ditunjukan bahwa f mengawetkan operasi penjumlahan. Dalam hal ini jelas bahwa peta dari f adalah Zn sehingga dengan mengingat teorema diperoleh Zn grup.
Konsep yang berlaku pada peta dari homomorfisma f dapat juga digunakan pada inti kernel dari homomorfisma. Misalkan x, y dalam Ker f. Oleh karena itu , xy dalam Ker f.
Misalkan x dalam Ker f. Teorema berikut ini berkaitan dengan sifat peta homomorfisma. Jika G berhingga maka orde dari f G membagi orde G. Jika G siklik maka f G siklik.
Jika G abelian maka f G abelian. Bukti : 1 Untuk latihan. Berarti f G dibangun oleh f a atau f G siklik. Pada bagian 1 dalam bukti ini juga menjelaskan bahwa order dari f a membagi orde a. Dengan kata lain, orde dari f a membagi orde a. Berarti f G abelian. Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f yaitu 10 anggota Z 10 dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f. Sifat-sifat berikut ini berlaku : 1. Jika f injektif maka G isomorfis dengan f G. Berarti f injektif. Karena f injektif maka h injektif dan jelas bahwa h surjektif sehingga h isomorfisma.
Akibatnya G isomorfis dengan f G. Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif. Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan peta dan intinya. Tunjukkan bahwa f homomorfisma. Tunjukkan f injektif dengan menguji Ker f. Buktikan bahwa f h homomorfisma. Gunakan uji inti untuk membuktikan bahwa jika f dan h injektif maka f h juga injektif.
Buktikan bahwa jika G abelian maka f G abelian. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel. Apakah f homomorfisma bijektif?
Definisi VIII. Istilah S grup bagian normal dari grup G sering kali disingkat sebagai S normal dari G. Berikut ini sifat-sifat tentang normal dari suatu grup. Teorema VIII. Jika G abelian maka setiap grup bagian dari G normal dalam G. Sifat — sifat berikut ini berlaku : 1. Jika S grup bagian dari H maka f —1 S grup bagian dari G.
Jika N grup bagian normal dari H maka f —1 N normal dari G. Misalkan x, y dalam f —1 S. Akibatnya xy dalam f —1 S. Misalkan x —1 adalah invers dari x dengan x dalam f —1 S. Ambil sebarang x dalam f —1 N dan a dalam G. Karena N normal dalam f G maka f a —1 f x f a dalam f G dan akibatnya a—1 xa dalam f —1 N. Berarti f —1 N tertutup terhadap operasi konjugat. Misalkan H grup bagian normal dari G. Misalkan S grup bagian dari grup G.
Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan cara untuk menguji kesamaan dari dua koset. Teorema IX. Bukti : 1. Contoh IX. Dengan menggunakan Teorema IX. Berarti S grup bagian normal. Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bS berlaku a1S. Hal ini benar asalkan ab -1 a1b dalam S. Dengan cara yang sama, hal di atas dapat dikerjakan juga bila bS diganti dengan b1S.
Berarti a-1 S merupakan invers dari aS. Dapat dibuktikan bahwa fungsi f merupakan isomorfisma. Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f tidak injektif dan tidak surjektif. Dalam grup faktor ini mempunyai order 2 dan K berfungsi sebagai elemen identitas sedangkan elemen lainnya adalah 3K yang mempunyai order 2 sehingga merupakan grup siklik.
Pemetaan f bijektif. Dalam grup faktor ini mempunyai order 4, K berfungsi sebagai elemen identitas. Elemen 9K mempunyai order 2. Bukti : Akan dibuktikan dengan prinsip induksi. Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n. Dengan menggunakan Teorema Lagrange untuk latihan. Misalkan a mempunyai orde berhingga k dalam G.
Oleh karena itu dengan Teorema IV. Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam natural homorphism atau homomorfisma kannonik canonical homomorphism. Ambil sebarang x dan y dalam G. Misalkan masing—masing berada dalam suatu koset, misal x dalam amS dan y dalam anS untuk suatu bilangan bulat m dan n.
Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal membuktikan bahwa g homomorfisma. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma. Definisi IX. Grup G dan H mempunyai orde yang sama. Grup G dan H keduanya abelian atau tidak abelian.
Grup G dan H keduanya siklik atau tidak siklik. Bukti : Untuk latihan. Sebarang grup siklik tak berhingga isomorfis dengan Z. Sebarang grup siklik berhingga orde n isomorfis dengan Zn. Bukti : Dalam setiap kasus, didefinisikan suatu fungsi yang diduga merupakan suatu fungsi yang isomorfisma, kemudian ditunjukan bahwa fungsi tersebut injektif, surjektif dan mengawetkan operasi. Misalkan G sebarang grup siklik tak hingga.
Bentuk himpunan ini menyarankan untuk mendefinisikan suatu fungsi yang sesuai. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa a mempunyai orde tak hingga. Untuk sifat f surjektif dan mengawetkan operasi digunakan sebagai latihan. Berikan contoh khusus untuk menunjukan bahwa pergandaan koset aS.
Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma. Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R. Misalkan G sebarang grup dan b anggota G. Tunjukkan bahwa fb suatu automorfisma dari G. Buktikan bahwa suatu grup G isomorfis dengan dirinya sendiri. Definisi X. Teorema X. Contoh X. Oleh karena itu orde dari a,b merupakan pembagi 4.
Anggota 0, 0 , 1, 2 dan 1, 1 berturut-turut mempunyai orde 1, 2, dan 4. Grup ini merupakan grup abelian karena Z2 abelian. Order dari setiap elemen 1 atau 2 sebagai contoh 1, 0, 1, 1 mempunyai order 2. Tidak ada elemen yang mempunyai order Terdapat banyak cara untuk memilih a,b sehingga ordernya berhingga.
Diketahui a1, a2, …. Buktikan dengan induksi bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif m berlaku : a1, a2, …. Di bawah operasi pergandaan himpunan bilangan-bilangan tersebut di atas merupakan grup abelian.
Sistem aljabar dengan dua operasi seperti di atas termasuk dalam sistem aljabar yang dinamakan ring. Dalam sebarang ring 0 merupakan identitas terhadap penjumlahan sedangkan —a menyatakan invers a terhadap penjumlahan.
Contoh XI. Bukti : Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah asal domain dari fungsi.
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring. Dengan menggunakan hokum kanselasi didapat 0. Dengan cara yang sama didapat juga bahwa a. Diberikan suatu himpunan tidak kosong G. Definisi 1. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi pada G disebut dengan struktur aljabar atau himpunan yang berstruktur. Contoh 1. Pada mata kuliah Aljabar Abstrak I, pembahasan difokuskan pada struktur aljabar dengan satu operasi.
Untuk struktur aljabar dengan dua operasi akan diberikan pada mata kuliah Aljabar Abstrak II. Latihan 1. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan pada H tidak bersifat tertutup. Buktikan bahwa operasi perkalian pada S bersifat tertutup.
Tunjukkan bahwa T tidak bersifat tertutup terhadap operasi perkalian. Karena sifat ke-3 tidak dipenuhi, maka sifat ke-4 jelas tidak dipenuhi. Untuk sifat ke-3 dan ke-4, silahkan diselidiki sebagai latihan. Akan tetapi ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup, assosiatif dan memuat elemen identitas, atau hanya memenuhi sifat tertutup dan assosiatif saja, bahkan ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup saja.
Dari motivasi tersebut, dapat dibuat suatu definisi mengenai struktur aljabar yang memenuhi sifat-sifat tersebut, seperti diberikan pada definisi berikut ini. Dari definisi di atas dapat dilihat bahwa setiap grup merupakan semigrup dan monoid, dan setiap monoid merupakan semigrup. Akan tetapi belum tentu berlaku sebaliknya. Pada titik-titik dalam tabel di bawah ini, berilah tanda centang v jika memenuhi atau tanda minus - jika tidak memenuhi.
Dari sini dapat diperoleh bahwa operasi biner pada grup dapat bersifat komutatif atau bersifat tidak komutatif. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang operasi binernya bersifat komutatif, seperti diberikan pada definisi berikut ini.
Teorema 1. Soal-soal Latihan Subbab 1. Diberikan grup Abelian G dan H. Tugas Kelompok 1. Buatlah contoh grup Abelian dan contoh bukan grup Abelian berbeda dengan grup yang telah diberikan.
Jelaskan proses pembuktiannya. Buatlah 4 contoh bukan grup yang berbeda yang memenuhi: a. Tidak tertutup b. Tidak assosiatif c. Tidak memuat elemen identitas d. Sifat-sifat Dasar Grup Setelah diberikan pengertian mengenai grup, berikut ini diberikan beberapa sifat dasar yang dimiliki oleh grup. Lemma 1. Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup G berlaku sifat kanselasi kiri. Bukti kanselasi kanan untuk latihan mahasiswa. Teorema berikut ini merupakan jaminan bahwa setiap grup memuat tepat satu elemen identitas atau bersifat tunggal.
Dari 1. Jadi, terbukti bahwa elemen identitas pada grup G bersifat tunggal. Jadi, terbukti bahwa invers dari setiap elemen grup G bersifat tunggal. Bukti: 1. Jika G hanya memuat tepat dua elemen, buktikan bahwa G merupakan grup Abelian. Grup Himpunan Bilangan Bulat Modulo Pada subbab ini diberikan pengertian mengenai suatu grup yang sangat penting dalam mempelajari teori grup, sebab banyak konsep dalam teori grup yang menggunakannya sebagai contoh.
Bilangan bulat q disebut dengan hasil bagi quotient dan bilangan bulat r disebut dengan sisa residu. Hitunglah 1. Selanjutnya, diperkenalkan konsep mengenai kongruensi pada bilangan bulat sebagai berikut. Dapat dibuktikan bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi ekuivalensi. Kelas 1 berisi semua bilangan bulat yang kongruen dengan 1 modulo 5, yaitu himpunan semua bilangan bulat yang apabila dibagi dengan 5 mempunyai sisa 1.
Demikian juga untuk kelas 2 , 3 dan 4. Dari pembahasan mengenai algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat korespondensi antara kelas-kelas ekuivalensi dengan sisa-sisa pembagian. Hitunglah: 1. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga. Grup Hingga Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga disebut dengan grup hingga finite group. Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak tak hingga disebut dengan grup tak hingga infinite group.
Order Grup Banyaknya elemen dalam suatu grup G disebut dengan order grup, dinotasikan dengan G. Dalam beberapa literatur, order dari G dinotasikan dengan o G. Hal ini dapat dilihat dari tabel Cayley-nya, yaitu.
0コメント